Si el perímetro del rectángulo ABCD es $$8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$, entonces ¿Cuánto es DC?
a) a+2b
b) 2a+b
c) 4a+6b
d) 4a+2b
e) 6a+5b
SOLUCIÓN:
El perímetro de una figura es la suma de la medida de los lados. En la figura, el perímetro será:
$$ P = \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+ \overline{DA} $$
Por ser la figura un rectángulo, se tiene que $$\overline{AB}= \overline {CD}$$ y $$\overline{BC}+\overline{DA}$$. Entonces:
$$ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AB} + \overline{BC} = $$
$$=2\overline{AB} + 2\overline{BC} $$
Como $$P=8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$ se sigue:
$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+2(2a+3b)$$
$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+4a+6b$$
$$ 8a+8b -4a-6b= 2\overline{AB}$$
$$ 2\overline{AB}= 4a+2b$$
$$ 2\overline{AB}= 2(2a+b)$$
$$ \overline{AB}= 2a+b$$
Entonces:
$$ \overline{AB}= \overline{CD} = 2a+b$$
$$\left( 1-0,\bar 6 \right)^2=$$
a) $$\frac{16}{81}$$
b) $$0,\overline{04}$$
c) $$0,\bar 1$$
d) $$0,\bar 2$$
e) $$0, \bar 4$$
SOLUCIÓN:
Escribiendo el número decimal como fracción:
$$0,\bar 6 = \frac{6-0}{9} = \frac{2}{3}$$
Entonces:
$$\left( 1-\frac{2}{3} \right)^2=\left( \frac{3-2}{3} \right)^2 = $$
$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\bar 1$$
a) $$\frac{16}{81}$$
b) $$0,\overline{04}$$
c) $$0,\bar 1$$
d) $$0,\bar 2$$
e) $$0, \bar 4$$
SOLUCIÓN:
Escribiendo el número decimal como fracción:
$$0,\bar 6 = \frac{6-0}{9} = \frac{2}{3}$$
Entonces:
$$\left( 1-\frac{2}{3} \right)^2=\left( \frac{3-2}{3} \right)^2 = $$
$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\bar 1$$
Sea $$2^3-2 =1\cdot 2\cdot 3$$; $$3^3-3 =2\cdot 3\cdot 4$$; $$4^3-4 =3\cdot 4\cdot 5$$.
Entonces, $$20^3-20 =$$
a) $$20\cdot 21\cdot 22$$
b) $$19\cdot 20\cdot 21$$
c) $$18\cdot 19\cdot 20$$
d) $$21\cdot 22\cdot 23$$
e) $$22\cdot 23\cdot 24$$
SOLUCIÓN:
La recursión se puede escribir como:
$$R(n) = n^3-n =(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$$
Por lo tanto:
$$R(20) = 20^3-20 =(20-1)\cdot 20\cdot (20+1) = 19\cdot 20\cdot 21$$
Entonces, $$20^3-20 =$$
a) $$20\cdot 21\cdot 22$$
b) $$19\cdot 20\cdot 21$$
c) $$18\cdot 19\cdot 20$$
d) $$21\cdot 22\cdot 23$$
e) $$22\cdot 23\cdot 24$$
SOLUCIÓN:
La recursión se puede escribir como:
$$R(n) = n^3-n =(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$$
Por lo tanto:
$$R(20) = 20^3-20 =(20-1)\cdot 20\cdot (20+1) = 19\cdot 20\cdot 21$$
$$0,6\cdot 10^4+6\cdot 10^3+0,06\cdot 10^5 = $$
a) $$18\cdot 10^9$$
b) $$1,8\cdot 10^4$$
c) $$18\cdot 10^4 $$
d) $$6,066\cdot 10^7 $$
e) $$6,66\cdot 10^{12} $$
SOLUCIÓN:
$$0,6\cdot 10^4+6\cdot10^3+0,06\cdot 10^5 = $$
$$=\frac{6}{10}\cdot 10\cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 10^2\cdot 10^3=$$
$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 100\cdot 10^3=$$
$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+6\cdot 10^3=$$
$$=18\cdot 10^3 = 18\cdot 10^{-1}\cdot 10^4 = $$
$$=18\cdot \frac{1}{10}\cdot 10^4= \frac{18}{10}\cdot 10^4 = 1,8\cdot 10^4$$
a) $$18\cdot 10^9$$
b) $$1,8\cdot 10^4$$
c) $$18\cdot 10^4 $$
d) $$6,066\cdot 10^7 $$
e) $$6,66\cdot 10^{12} $$
SOLUCIÓN:
$$0,6\cdot 10^4+6\cdot10^3+0,06\cdot 10^5 = $$
$$=\frac{6}{10}\cdot 10\cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 10^2\cdot 10^3=$$
$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 100\cdot 10^3=$$
$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+6\cdot 10^3=$$
$$=18\cdot 10^3 = 18\cdot 10^{-1}\cdot 10^4 = $$
$$=18\cdot \frac{1}{10}\cdot 10^4= \frac{18}{10}\cdot 10^4 = 1,8\cdot 10^4$$
Si han trascurrido $$\frac{2}{5}$$ de los $$\frac{3}{4}$$ del dia, ¿Qué hora es?
a) 7 hr 12 min
b) 7 hr 20 min
c) 7 hr 2 min
d) 7 hr
e) 7 hr 24 min
SOLUCIÓN:
Un día tiene 24 horas. Para calcular los tres cuartos de un día se tiene que multiplicar $$\frac{3}{4}$$ por 24:
$$\frac{3}{4}\cdot 24 = 3\cdot 6 = 18$$
Ahora, han trascurrido dos quintos de 18 horas. Se multiplica $$\frac{2}{5}$$ por 18:
$$\frac{2}{5}\cdot 18 = \frac{36}{5} = 7,2 $$
Entonces, han transcurrido 7,2 horas. Es decir, 7 horas, y 0,2 partes de una hora. Si 1 hora es el 100%, entonces calculamos el porcentaje que le corresponde a 0,2:
$$\frac{1}{100}=\frac{0,2}{x}$$
$$x = 0,2\cdot 100$$
$$x = 20$$
Es decir, ha trascurrido un 20% de una hora. Si una hora son 60 minutos, entonces ¿a cuántos minutos le corresponden el 20% de una hora?
$$\frac{60}{100}=\frac{x}{20}$$
$$60\cdot 20 = 100\cdot x$$
$$x= \frac{1200}{100} = 12$$
Es decir, 0,2 partes de una hora corresponden a 12 minutos. Por lo tanto, han trascurrido 7 horas y 12 minutos del día.
a) 7 hr 12 min
b) 7 hr 20 min
c) 7 hr 2 min
d) 7 hr
e) 7 hr 24 min
SOLUCIÓN:
Un día tiene 24 horas. Para calcular los tres cuartos de un día se tiene que multiplicar $$\frac{3}{4}$$ por 24:
$$\frac{3}{4}\cdot 24 = 3\cdot 6 = 18$$
Ahora, han trascurrido dos quintos de 18 horas. Se multiplica $$\frac{2}{5}$$ por 18:
$$\frac{2}{5}\cdot 18 = \frac{36}{5} = 7,2 $$
Entonces, han transcurrido 7,2 horas. Es decir, 7 horas, y 0,2 partes de una hora. Si 1 hora es el 100%, entonces calculamos el porcentaje que le corresponde a 0,2:
$$\frac{1}{100}=\frac{0,2}{x}$$
$$x = 0,2\cdot 100$$
$$x = 20$$
Es decir, ha trascurrido un 20% de una hora. Si una hora son 60 minutos, entonces ¿a cuántos minutos le corresponden el 20% de una hora?
$$\frac{60}{100}=\frac{x}{20}$$
$$60\cdot 20 = 100\cdot x$$
$$x= \frac{1200}{100} = 12$$
Es decir, 0,2 partes de una hora corresponden a 12 minutos. Por lo tanto, han trascurrido 7 horas y 12 minutos del día.
En la figura, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 2 cm y 8 cm ¿Cuál es la medida de GB?
a) 12 cm
b) 10 cm
c) 8 cm
d) 6 cm
e) 5 cm
SOLUCIÓN:
El área de un rectángulo es:
$$A=l\cdot a$$
donde $$l$$ es su largo y $$a$$ es su ancho. En el rectángulo ABCD el largo vale 8cm y el ancho 2cm. Por lo tanto su área será:
$$A=l\cdot a = 8 \cdot 2 = 16\ \text{cm}^2$$
El área de un cuadrado es:
$$A=x^2$$
donde $$x$$ es su lado. El área del rectángulo ABCD es igual al área del cuadrado DEFG. Entonces:
$$A=x^2=16\ \text{cm}^2$$
$$x=\sqrt{16\ \text{cm}^2}$$
$$x=4\ \text{cm}$$
EL lado AG = AD+DG, entonces:
$$\text{AG} = 2+4 = 6 \ \text{cm}$$
Se tiene un cuadrado rectángulo de catetos AG = 6cm y AB = 8cm, la hipotenuza es BG. Por el Teorema de Pitágoras:
$$\text{BG}^2 = \text{AG}^2+\text{AB}^2$$
$$\text{BG}^2 = 6^2+8^2$$
$$\text{BG}^2 = 36+64$$
$$\text{BG}^2 = 100$$
$$\text{BG} = \sqrt {100}$$
$$\text{BG} = 10$$
En la figura, el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y EBCF es un cuadrado de área 9. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?
a) 10b) 15
c) 18
d) 24
e) 36
SOLUCIÓN:
Si el lado de un cuadrado mide $$x$$, entonces el área del cuadrado mide $$A=x^2$$.
Entonces, digamos que el lado del cuadrado EBCF vale $$x$$. Entonces para ese cuadrado se tiene la relación:
$$A=x^2=9$$
$$x=\sqrt9$$
$$x=3$$
y por lo tanto, como el lado del cuadrado coincide con el ancho del rectángulo ABCD, entonces el ancho de tal rectángulo mide 3.
El perímetro de un rectángulo es:
$$P=2a+2l$$
donde $$a$$ corresponde al ancho del rectángulo y $$l$$ al largo del rectángulo. Se sabe que el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y como su ancho es 3, se sigue por la ecuación de su perímetro:
$$P=2\cdot 3+2 l = 22$$
$$6+2l=22$$
$$2l=22-6$$
$$2l=16$$
$$l=\frac{16}{2}$$
$$l=8$$
El segmento AE = AB-EB, entonces:
$$AE= 8-3 = 5$$
El área de un rectángulo es:
$$A = a\cdot l$$
donde $$a$$ es el ancho y $$l$$ el largo. Así, el área del rectángulo AEFD es:
$$A = a\cdot l = 3\cdot 5 = 15$$
Si $$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$ , entonces $$a^{-1} =$$
a) 4
b) $$\frac{5}{2}$$
c) $$\frac{3}{5}$$
d) $$-\frac{5}{3}$$
e) $$\frac{5}{3}$$
SOLUCIÓN:
$$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{2+1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+1:\frac{3}{2} = 1+1\cdot \frac{2}{3} =$$
$$=1+\frac{2}{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$$
Por lo tanto
$$a=\frac{5}{3}$$
Ahora, por las propiedades de potencias:
$$a^{1} = \frac{1}{a^{-1}} $$
Entonces:
$$a^{-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{3}{5}$$
a) 4
b) $$\frac{5}{2}$$
c) $$\frac{3}{5}$$
d) $$-\frac{5}{3}$$
e) $$\frac{5}{3}$$
SOLUCIÓN:
$$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{2+1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+1:\frac{3}{2} = 1+1\cdot \frac{2}{3} =$$
$$=1+\frac{2}{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$$
Por lo tanto
$$a=\frac{5}{3}$$
Ahora, por las propiedades de potencias:
$$a^{1} = \frac{1}{a^{-1}} $$
Entonces:
$$a^{-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{3}{5}$$
$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16}$$
a) $$10^{-5}$$
b) $$10^{-4}$$
c) 0,001
d) $$10^{-1}$$
e) 0,0016
SOLUCIÓN:
Escribimos los números decimales como fracción:
$$0,16 = \frac{16}{100}$$
Conviene no simplificar la expresión. Ahora, como $$10^2=100$$ entonces:
$$\frac{16}{100}=\frac{16}{10^2}$$
Se sigue entonces:
$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16} = \frac{16 \cdot 10^{-3}}{\frac{16}{10^2}}=16 \cdot 10^{-3} : \frac{16}{10^2}=16 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{10^2}{16} = $$
$$10^{-3+2}=10^{-1}$$
a) $$10^{-5}$$
b) $$10^{-4}$$
c) 0,001
d) $$10^{-1}$$
e) 0,0016
SOLUCIÓN:
Escribimos los números decimales como fracción:
$$0,16 = \frac{16}{100}$$
Conviene no simplificar la expresión. Ahora, como $$10^2=100$$ entonces:
$$\frac{16}{100}=\frac{16}{10^2}$$
Se sigue entonces:
$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16} = \frac{16 \cdot 10^{-3}}{\frac{16}{10^2}}=16 \cdot 10^{-3} : \frac{16}{10^2}=16 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{10^2}{16} = $$
$$10^{-3+2}=10^{-1}$$
$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=$$
a) 0,2
b) 0,7
c) 2
d) 7
e) 20
SOLUCIÓN:
Escribiendo los números decimales como fracciones:
$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
$$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$
Entonces:
$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=\frac{\frac{1}{5}+4}{1-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1+20}{5}}{\frac{5-2}{5}}=\frac{\frac{21}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{21}{5}:\frac{3}{5}=\frac{21}{5}\cdot \frac{5}{3}= 7$$
a) 0,2
b) 0,7
c) 2
d) 7
e) 20
SOLUCIÓN:
Escribiendo los números decimales como fracciones:
$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
$$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$
Entonces:
$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=\frac{\frac{1}{5}+4}{1-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1+20}{5}}{\frac{5-2}{5}}=\frac{\frac{21}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{21}{5}:\frac{3}{5}=\frac{21}{5}\cdot \frac{5}{3}= 7$$
A continuación se expone una lista con las propiedades de las potencias. No olvidar que las ecuaciones se miran tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.
PROPIEDAD 1
Cualquier número elevado a cero es 1.
$$a^0 = 1$$
Ejemplos:
a) $$3^0 = 1$$
b) $$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^0 = 1$$
c) $$\left( \int e^xdx \right)^0 =1$$
PROPIEDAD 2
Si dos números con igual base y distinto exponente se multiplican (no vale para la suma) entonces se mantiene la base y se suman los exponentes.
$$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$
Ejemplos:
a) $$2^4\cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$
b) $$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+-4} = 5^{-1}$$
c) $$ 3^{1998}\cdot 3^{2000} = 3^{1998+200} = 3^{3998}$$
PROPIEDAD 3
Si dos números con igual base y distinto exponente se dividen entonces se mantiene la base y se restan los exponentes.
$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
Ejemplos:
a) $$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1=2$$
b) $$\frac{5^3}{5^{-4}} = 5^{3--4} = 5^{3+4}= 5^7$$
c) $$\frac{ 3^{1998}}{ 3^{2000}} = 3^{1998-200} = 3^{-2}$$
PROPIEDAD 4
Un conjunto de números multiplicados entre sí elevados a una potencia es igual a cada número elevado a la potencia multiplicándose entre si:
$$\left(a\cdot b \cdot c) ^{x} = a^{x}\cdot b^{x}\cdot c^{x} $$
Ejemplos:
a) $$\left(4 \cdot 3\right)^2 = 4^2\cdot 3^2$$
b) $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\right)^5 =1^5\cdot2^5\cdot 3^5\cdot 4^5 \cdot 5^5 $$
c) $$\left(5xy \sqrt 3\right)^{2} = 5^2x^2y^2\left(\sqrt 3\right)^2= 25x^2y^2\cdot3 =75x^2y^2$$
PROPIEDAD 5
Un número elevado a un número negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo número pero positivo.
$$a^{-x} = \left(\frac{1}{a} \right)^{x} $$
o también
$$\left( \frac{a}{b}\right) ^{-x} = \left(\frac{b}{a} \right)^{x} $$
Ejemplos:
a) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2=16$$
b) $$7^{-5} = \left( \frac{1}{7}\right)^{5} = \frac{1}{7^5}$$
c) $$\left(\frac{7}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{4}\right)^3$$
PROPIEDAD 6
Un número elevado a una potencia y elevado a otra potencia es igual al número elevado a la multiplicación de las potencias:
$$\left(a^{x}\right)^{y} = a^{x\cdot y} $$
Ejemplos:
a) $$\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 $$
b) $$\left(x^{250}\right)^{2} = x^{250\cdot 2} = x^{500} $$
c) $$\left( \left( 80^{3} \right)^4 \right)^5 = 80^{3\cdot 4\cdot 5} = 80^{60}$$
PROPIEDAD 1
Cualquier número elevado a cero es 1.
$$a^0 = 1$$
Ejemplos:
a) $$3^0 = 1$$
b) $$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^0 = 1$$
c) $$\left( \int e^xdx \right)^0 =1$$
PROPIEDAD 2
Si dos números con igual base y distinto exponente se multiplican (no vale para la suma) entonces se mantiene la base y se suman los exponentes.
$$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$
Ejemplos:
a) $$2^4\cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$
b) $$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+-4} = 5^{-1}$$
c) $$ 3^{1998}\cdot 3^{2000} = 3^{1998+200} = 3^{3998}$$
PROPIEDAD 3
Si dos números con igual base y distinto exponente se dividen entonces se mantiene la base y se restan los exponentes.
$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
Ejemplos:
a) $$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1=2$$
b) $$\frac{5^3}{5^{-4}} = 5^{3--4} = 5^{3+4}= 5^7$$
c) $$\frac{ 3^{1998}}{ 3^{2000}} = 3^{1998-200} = 3^{-2}$$
PROPIEDAD 4
Un conjunto de números multiplicados entre sí elevados a una potencia es igual a cada número elevado a la potencia multiplicándose entre si:
$$\left(a\cdot b \cdot c) ^{x} = a^{x}\cdot b^{x}\cdot c^{x} $$
Ejemplos:
a) $$\left(4 \cdot 3\right)^2 = 4^2\cdot 3^2$$
b) $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\right)^5 =1^5\cdot2^5\cdot 3^5\cdot 4^5 \cdot 5^5 $$
c) $$\left(5xy \sqrt 3\right)^{2} = 5^2x^2y^2\left(\sqrt 3\right)^2= 25x^2y^2\cdot3 =75x^2y^2$$
PROPIEDAD 5
Un número elevado a un número negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo número pero positivo.
$$a^{-x} = \left(\frac{1}{a} \right)^{x} $$
o también
$$\left( \frac{a}{b}\right) ^{-x} = \left(\frac{b}{a} \right)^{x} $$
Ejemplos:
a) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2=16$$
b) $$7^{-5} = \left( \frac{1}{7}\right)^{5} = \frac{1}{7^5}$$
c) $$\left(\frac{7}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{4}\right)^3$$
PROPIEDAD 6
Un número elevado a una potencia y elevado a otra potencia es igual al número elevado a la multiplicación de las potencias:
$$\left(a^{x}\right)^{y} = a^{x\cdot y} $$
Ejemplos:
a) $$\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 $$
b) $$\left(x^{250}\right)^{2} = x^{250\cdot 2} = x^{500} $$
c) $$\left( \left( 80^{3} \right)^4 \right)^5 = 80^{3\cdot 4\cdot 5} = 80^{60}$$
$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=$$
a) 2
b) 4
c) $$2\cdot 10^{-10}$$
d) $$4\cdot 10^{-20}$$
e) $$4\cdot 10^{-10}$$
SOLUCIÓN:
Trasformando los decimales a fracción:
$$0,036=\frac{36}{1000} = \frac{9}{250}$$
$$0,2=\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
$$0,0036=\frac{36}{10000} = \frac{9}{2500}$$
$$0,04=\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$
Entonces:
$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=\left( \frac{\frac{9}{250}}{\frac{1}{5}} \right)^2\cdot \left(\frac{\frac{9}{2500}}{\frac{1}{25}}\right)^{-2}=$$
$$=\left( \frac{9}{250}:\frac{1}{5} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}: \frac{1}{25}\right)^{-2}=$$
$$=\left( \frac{9}{250}\cdot \frac{5}{1} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}\cdot \frac{25}{1}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2} $$
Recordando la propiedad de las potencias:
$$\left( \frac{a}{b}\right)^{-c} = \left( \frac{b}{a}\right)^{c}$$
y la propiedad de las potencias:
$$\left( a^c\cdot b^c \right) = \left( a\cdot b \right)^c$$
entonces se sigue:
$$\left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{100}{9}\right)^2 = \left( \frac{9}{50} \cdot \frac{100}{9}\right)^2= $$
$$\left( 2 \right)^2 = 4 $$
Recordando la proi
a) 2
b) 4
c) $$2\cdot 10^{-10}$$
d) $$4\cdot 10^{-20}$$
e) $$4\cdot 10^{-10}$$
SOLUCIÓN:
Trasformando los decimales a fracción:
$$0,036=\frac{36}{1000} = \frac{9}{250}$$
$$0,2=\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
$$0,0036=\frac{36}{10000} = \frac{9}{2500}$$
$$0,04=\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$
Entonces:
$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=\left( \frac{\frac{9}{250}}{\frac{1}{5}} \right)^2\cdot \left(\frac{\frac{9}{2500}}{\frac{1}{25}}\right)^{-2}=$$
$$=\left( \frac{9}{250}:\frac{1}{5} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}: \frac{1}{25}\right)^{-2}=$$
$$=\left( \frac{9}{250}\cdot \frac{5}{1} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}\cdot \frac{25}{1}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2} $$
Recordando la propiedad de las potencias:
$$\left( \frac{a}{b}\right)^{-c} = \left( \frac{b}{a}\right)^{c}$$
y la propiedad de las potencias:
$$\left( a^c\cdot b^c \right) = \left( a\cdot b \right)^c$$
entonces se sigue:
$$\left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{100}{9}\right)^2 = \left( \frac{9}{50} \cdot \frac{100}{9}\right)^2= $$
$$\left( 2 \right)^2 = 4 $$
Recordando la proi
$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,0\bar 9}=$$
a) 18
b) 36
c) 0,36
d) $$\left( \frac{18}{10} \right)$$
e) 1,8
SOLUCIÓN:
Trasformamos los decimales a fracción:
$$1,8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$$
$$1,\bar 9 = \frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2$$
$$0,\bar 9 = \frac{9-0}{9}=1$$
$$0,0\bar 9 = \frac{9-0}{90}=\frac{1}{10}$$
Entonces, se sigue:
$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,00\bar 9}=\frac{9}{5}\cdot \frac{2\cdot1}{\frac{1}{10}}=\frac{9}{5}\cdot \left( 2 : \frac{1}{10} \right) = \frac{9}{5}\cdot \left( 2 \cdot 10 \right) = $$
$$=\frac{9}{5} \cdot 20 = 9\cdot 4 = 36$$
a) 18
b) 36
c) 0,36
d) $$\left( \frac{18}{10} \right)$$
e) 1,8
SOLUCIÓN:
Trasformamos los decimales a fracción:
$$1,8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$$
$$1,\bar 9 = \frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2$$
$$0,\bar 9 = \frac{9-0}{9}=1$$
$$0,0\bar 9 = \frac{9-0}{90}=\frac{1}{10}$$
Entonces, se sigue:
$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,00\bar 9}=\frac{9}{5}\cdot \frac{2\cdot1}{\frac{1}{10}}=\frac{9}{5}\cdot \left( 2 : \frac{1}{10} \right) = \frac{9}{5}\cdot \left( 2 \cdot 10 \right) = $$
$$=\frac{9}{5} \cdot 20 = 9\cdot 4 = 36$$
Estoy retomando las andanzas del blog. La verdad abri este portal para que la gente aprendiera matemáticas, no se estresara tanto para la PSU y además pa ganar un poco de plata con los anuncios. Bueno, seguiré, si necesitan responder algún ejercicio en particular, maándenlo y lo resuelvo.
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