domingo, 10 de julio de 2011

Propiedades de las potencias

A continuación se expone una lista con las propiedades de las potencias. No olvidar que las ecuaciones se miran tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.


PROPIEDAD 1

Cualquier número elevado a cero es 1.

$$a^0 = 1$$


Ejemplos:

a) $$3^0 = 1$$

b) $$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^0 = 1$$

c) $$\left( \int e^xdx \right)^0 =1$$


PROPIEDAD 2
Si dos números con igual base y distinto exponente se multiplican (no vale para la suma) entonces se mantiene la base y se suman los exponentes.

$$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$


Ejemplos:

a) $$2^4\cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$

b) $$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+-4} = 5^{-1}$$

c) $$ 3^{1998}\cdot 3^{2000} = 3^{1998+200} = 3^{3998}$$


PROPIEDAD 3
Si dos números con igual base y distinto exponente se dividen entonces se mantiene la base y se restan los exponentes.

$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$


Ejemplos:

a) $$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1=2$$

b) $$\frac{5^3}{5^{-4}} = 5^{3--4} = 5^{3+4}= 5^7$$

c) $$\frac{ 3^{1998}}{ 3^{2000}} = 3^{1998-200} = 3^{-2}$$


PROPIEDAD 4
Un conjunto de números multiplicados entre sí elevados a una potencia es igual a cada número elevado a la potencia multiplicándose entre si:


$$\left(a\cdot b \cdot c) ^{x} = a^{x}\cdot b^{x}\cdot c^{x} $$


Ejemplos:

a) $$\left(4 \cdot 3\right)^2 = 4^2\cdot 3^2$$

b) $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\right)^5 =1^5\cdot2^5\cdot 3^5\cdot 4^5 \cdot 5^5 $$

c) $$\left(5xy \sqrt 3\right)^{2} = 5^2x^2y^2\left(\sqrt 3\right)^2= 25x^2y^2\cdot3 =75x^2y^2$$


PROPIEDAD 5
Un número elevado a un número negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo número pero positivo.

$$a^{-x} = \left(\frac{1}{a} \right)^{x} $$

o también

$$\left( \frac{a}{b}\right) ^{-x} = \left(\frac{b}{a} \right)^{x} $$


Ejemplos:

a) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2=16$$

b) $$7^{-5} = \left( \frac{1}{7}\right)^{5} = \frac{1}{7^5}$$

c) $$\left(\frac{7}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{4}\right)^3$$


PROPIEDAD 6
Un número elevado a una potencia y elevado a otra potencia es igual al número elevado a la multiplicación de las potencias:

$$\left(a^{x}\right)^{y} = a^{x\cdot y} $$


Ejemplos:

a) $$\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 $$

b) $$\left(x^{250}\right)^{2} = x^{250\cdot 2} = x^{500} $$

c) $$\left( \left( 80^{3} \right)^4 \right)^5 = 80^{3\cdot 4\cdot 5} = 80^{60}$$

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