Problema 30

En la figura, el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y EBCF es un cuadrado de área 9. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?

a) 10

b) 15

c) 18

d) 24

e) 36


SOLUCIÓN:

Si el lado de un cuadrado mide $$x$$, entonces el área del cuadrado mide $$A=x^2$$.
Entonces, digamos que el lado del cuadrado EBCF vale $$x$$. Entonces para ese cuadrado se tiene la relación:

$$A=x^2=9$$

$$x=\sqrt9$$

$$x=3$$

y por lo tanto, como el lado del cuadrado coincide con el ancho del rectángulo ABCD, entonces el ancho de tal rectángulo mide 3.

El perímetro de un rectángulo es:

$$P=2a+2l$$

donde $$a$$ corresponde al ancho del rectángulo y $$l$$ al largo del rectángulo. Se sabe que el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y como su ancho es 3, se sigue por la ecuación de su perímetro:

$$P=2\cdot 3+2 l = 22$$

$$6+2l=22$$

$$2l=22-6$$

$$2l=16$$

$$l=\frac{16}{2}$$

$$l=8$$

El segmento AE = AB-EB, entonces:

$$AE= 8-3 = 5$$

El área de un rectángulo es:

$$A = a\cdot l$$

donde $$a$$ es el ancho y $$l$$ el largo. Así, el área del rectángulo AEFD es:

$$A = a\cdot l = 3\cdot 5 = 15$$