Problema 36

Si el perímetro del rectángulo ABCD es $$8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$, entonces ¿Cuánto es DC?

a) a+2b

b) 2a+b

c) 4a+6b

d) 4a+2b

e) 6a+5b


SOLUCIÓN:

El perímetro de una figura es la suma de la medida de los lados. En la figura, el perímetro será:

$$ P = \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+ \overline{DA} $$

Por ser la figura un rectángulo, se tiene que $$\overline{AB}= \overline {CD}$$ y $$\overline{BC}+\overline{DA}$$. Entonces:

$$ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AB} + \overline{BC} = $$

$$=2\overline{AB} + 2\overline{BC} $$

Como $$P=8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$ se sigue:

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+2(2a+3b)$$

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+4a+6b$$

$$ 8a+8b -4a-6b= 2\overline{AB}$$

$$ 2\overline{AB}= 4a+2b$$

$$ 2\overline{AB}= 2(2a+b)$$

$$ \overline{AB}= 2a+b$$

Entonces:

$$ \overline{AB}= \overline{CD} = 2a+b$$