tag:blogger.com,1999:blog-45878827739288594152024-03-14T03:28:01.359-03:00Matemáticas PSUEjercicios de matemáticasAnonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.comBlogger43125tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-42355434618702112242011-07-12T01:02:00.000-04:002011-07-12T01:02:17.119-04:00Problema 36Si el perímetro del rectángulo ABCD es $$8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$, entonces ¿Cuánto es DC?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><img border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-qvqhpAwyyH0/ThvQSbiwi4I/AAAAAAAACOo/OkKJwRKyWK4/s1600/figura+3.png" /></div><br />
a) a+2b<br />
<br />
b) 2a+b<br />
<br />
c) 4a+6b<br />
<br />
d) 4a+2b<br />
<br />
e) 6a+5b<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
El perímetro de una figura es la suma de la medida de los lados. En la figura, el perímetro será:<br />
<br />
$$ P = \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+ \overline{DA} $$<br />
<br />
Por ser la figura un rectángulo, se tiene que $$\overline{AB}= \overline {CD}$$ y $$\overline{BC}+\overline{DA}$$. Entonces:<br />
<br />
$$ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AB} + \overline{BC} = $$<br />
<br />
$$=2\overline{AB} + 2\overline{BC} $$<br />
<br />
Como $$P=8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$ se sigue:<br />
<br />
$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+2(2a+3b)$$<br />
<br />
$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+4a+6b$$<br />
<br />
$$ 8a+8b -4a-6b= 2\overline{AB}$$<br />
<br />
$$ 2\overline{AB}= 4a+2b$$<br />
<br />
$$ 2\overline{AB}= 2(2a+b)$$<br />
<br />
$$ \overline{AB}= 2a+b$$<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
$$ \overline{AB}= \overline{CD} = 2a+b$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-2624826150287675752011-07-12T00:37:00.001-04:002011-07-12T01:03:19.482-04:00Problema 35$$\left( 1-0,\bar 6 \right)^2=$$<br />
<br />
a) $$\frac{16}{81}$$<br />
<br />
b) $$0,\overline{04}$$<br />
<br />
c) $$0,\bar 1$$<br />
<br />
d) $$0,\bar 2$$<br />
<br />
e) $$0, \bar 4$$<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
Escribiendo el número decimal como fracción:<br />
<br />
$$0,\bar 6 = \frac{6-0}{9} = \frac{2}{3}$$<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
$$\left( 1-\frac{2}{3} \right)^2=\left( \frac{3-2}{3} \right)^2 = $$<br />
<br />
$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\bar 1$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-29834361891872950632011-07-12T00:29:00.000-04:002011-07-12T00:29:26.122-04:00Problema 34Sea $$2^3-2 =1\cdot 2\cdot 3$$; $$3^3-3 =2\cdot 3\cdot 4$$; $$4^3-4 =3\cdot 4\cdot 5$$.<br />
Entonces, $$20^3-20 =$$<br />
<br />
a) $$20\cdot 21\cdot 22$$ <br />
<br />
b) $$19\cdot 20\cdot 21$$<br />
<br />
c) $$18\cdot 19\cdot 20$$<br />
<br />
d) $$21\cdot 22\cdot 23$$<br />
<br />
e) $$22\cdot 23\cdot 24$$<br />
<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
<br />
La recursión se puede escribir como:<br />
<br />
$$R(n) = n^3-n =(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$$<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
$$R(20) = 20^3-20 =(20-1)\cdot 20\cdot (20+1) = 19\cdot 20\cdot 21$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-27398340867343009222011-07-12T00:10:00.001-04:002011-07-12T00:10:48.921-04:00Problema 33$$0,6\cdot 10^4+6\cdot 10^3+0,06\cdot 10^5 = $$<br />
<br />
a) $$18\cdot 10^9$$<br />
<br />
b) $$1,8\cdot 10^4$$<br />
<br />
c) $$18\cdot 10^4 $$<br />
<br />
d) $$6,066\cdot 10^7 $$<br />
<br />
e) $$6,66\cdot 10^{12} $$<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
$$0,6\cdot 10^4+6\cdot10^3+0,06\cdot 10^5 = $$<br />
<br />
$$=\frac{6}{10}\cdot 10\cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 10^2\cdot 10^3=$$<br />
<br />
$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 100\cdot 10^3=$$<br />
<br />
$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+6\cdot 10^3=$$<br />
<br />
$$=18\cdot 10^3 = 18\cdot 10^{-1}\cdot 10^4 = $$<br />
<br />
$$=18\cdot \frac{1}{10}\cdot 10^4= \frac{18}{10}\cdot 10^4 = 1,8\cdot 10^4$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-48481514924609229532011-07-11T23:52:00.000-04:002011-07-11T23:52:59.720-04:00Problema 32Si han trascurrido $$\frac{2}{5}$$ de los $$\frac{3}{4}$$ del dia, ¿Qué hora es?<br />
<br />
a) 7 hr 12 min<br />
<br />
b) 7 hr 20 min<br />
<br />
c) 7 hr 2 min<br />
<br />
d) 7 hr<br />
<br />
e) 7 hr 24 min<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
Un día tiene 24 horas. Para calcular los tres cuartos de un día se tiene que multiplicar $$\frac{3}{4}$$ por 24:<br />
<br />
$$\frac{3}{4}\cdot 24 = 3\cdot 6 = 18$$<br />
<br />
<br />
Ahora, han trascurrido dos quintos de 18 horas. Se multiplica $$\frac{2}{5}$$ por 18:<br />
<br />
$$\frac{2}{5}\cdot 18 = \frac{36}{5} = 7,2 $$<br />
<br />
Entonces, han transcurrido 7,2 horas. Es decir, 7 horas, y 0,2 partes de una hora. Si 1 hora es el 100%, entonces calculamos el porcentaje que le corresponde a 0,2:<br />
<br />
$$\frac{1}{100}=\frac{0,2}{x}$$<br />
<br />
$$x = 0,2\cdot 100$$<br />
<br />
$$x = 20$$<br />
<br />
Es decir, ha trascurrido un 20% de una hora. Si una hora son 60 minutos, entonces ¿a cuántos minutos le corresponden el 20% de una hora?<br />
<br />
$$\frac{60}{100}=\frac{x}{20}$$<br />
<br />
$$60\cdot 20 = 100\cdot x$$<br />
<br />
$$x= \frac{1200}{100} = 12$$<br />
<br />
Es decir, 0,2 partes de una hora corresponden a 12 minutos. Por lo tanto, han trascurrido 7 horas y 12 minutos del día.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-6560025707921130222011-07-10T22:22:00.000-04:002011-07-10T22:22:50.145-04:00Problema 31<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-QZOlRN8SI38/ThpamHLB_fI/AAAAAAAACOk/HSeJ2CFlAu0/s1600/figura2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-QZOlRN8SI38/ThpamHLB_fI/AAAAAAAACOk/HSeJ2CFlAu0/s1600/figura2.png" /></a></div><br />
En la figura, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 2 cm y 8 cm ¿Cuál es la medida de GB?<br />
<br />
a) 12 cm<br />
<br />
b) 10 cm<br />
<br />
c) 8 cm<br />
<br />
d) 6 cm<br />
<br />
e) 5 cm<br />
<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
El área de un rectángulo es:<br />
<br />
$$A=l\cdot a$$<br />
<br />
donde $$l$$ es su largo y $$a$$ es su ancho. En el rectángulo ABCD el largo vale 8cm y el ancho 2cm. Por lo tanto su área será:<br />
<br />
$$A=l\cdot a = 8 \cdot 2 = 16\ \text{cm}^2$$<br />
<br />
El área de un cuadrado es:<br />
<br />
$$A=x^2$$<br />
<br />
donde $$x$$ es su lado. El área del rectángulo ABCD es igual al área del cuadrado DEFG. Entonces:<br />
<br />
$$A=x^2=16\ \text{cm}^2$$<br />
<br />
$$x=\sqrt{16\ \text{cm}^2}$$<br />
<br />
$$x=4\ \text{cm}$$<br />
<br />
EL lado AG = AD+DG, entonces:<br />
<br />
$$\text{AG} = 2+4 = 6 \ \text{cm}$$ <br />
<br />
Se tiene un cuadrado rectángulo de catetos AG = 6cm y AB = 8cm, la hipotenuza es BG. Por el<a href="http://matematicas-psu.blogspot.com/2008/09/teorema-de-pitagoras.html"> Teorema de Pitágoras</a>:<br />
<br />
$$\text{BG}^2 = \text{AG}^2+\text{AB}^2$$<br />
<br />
$$\text{BG}^2 = 6^2+8^2$$<br />
<br />
$$\text{BG}^2 = 36+64$$<br />
<br />
$$\text{BG}^2 = 100$$<br />
<br />
$$\text{BG} = \sqrt {100}$$<br />
<br />
$$\text{BG} = 10$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-49783493408852608582011-07-10T21:57:00.000-04:002011-07-10T21:57:33.184-04:00Problema 30<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En la figura, el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y EBCF es un cuadrado de área 9. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-h8FYegNzF0g/ThpTmkMx2hI/AAAAAAAACOg/VbHUXqyceV4/s1600/figura1.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br />
</a><a href="http://3.bp.blogspot.com/-h8FYegNzF0g/ThpTmkMx2hI/AAAAAAAACOg/VbHUXqyceV4/s1600/figura1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-h8FYegNzF0g/ThpTmkMx2hI/AAAAAAAACOg/VbHUXqyceV4/s1600/figura1.png" /></a></div>a) 10<br />
<br />
b) 15<br />
<br />
c) 18<br />
<br />
d) 24<br />
<br />
e) 36<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
Si el lado de un cuadrado mide $$x$$, entonces el área del cuadrado mide $$A=x^2$$.<br />
Entonces, digamos que el lado del cuadrado EBCF vale $$x$$. Entonces para ese cuadrado se tiene la relación:<br />
<br />
$$A=x^2=9$$<br />
<br />
$$x=\sqrt9$$<br />
<br />
$$x=3$$<br />
<br />
y por lo tanto, como el lado del cuadrado coincide con el ancho del rectángulo ABCD, entonces el ancho de tal rectángulo mide 3. <br />
<br />
El perímetro de un rectángulo es:<br />
<br />
$$P=2a+2l$$<br />
<br />
donde $$a$$ corresponde al ancho del rectángulo y $$l$$ al largo del rectángulo. Se sabe que el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y como su ancho es 3, se sigue por la ecuación de su perímetro:<br />
<br />
$$P=2\cdot 3+2 l = 22$$<br />
<br />
$$6+2l=22$$<br />
<br />
$$2l=22-6$$<br />
<br />
$$2l=16$$<br />
<br />
$$l=\frac{16}{2}$$<br />
<br />
$$l=8$$<br />
<br />
El segmento AE = AB-EB, entonces:<br />
<br />
$$AE= 8-3 = 5$$<br />
<br />
El área de un rectángulo es:<br />
<br />
$$A = a\cdot l$$<br />
<br />
donde $$a$$ es el ancho y $$l$$ el largo. Así, el área del rectángulo AEFD es:<br />
<br />
$$A = a\cdot l = 3\cdot 5 = 15$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-1102517705211611892011-07-10T17:09:00.003-04:002011-07-10T17:14:06.975-04:00Problema 29Si $$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$ , entonces $$a^{-1} =$$<br />
<br />
<br />
a) 4<br />
<br />
b) $$\frac{5}{2}$$<br />
<br />
c) $$\frac{3}{5}$$<br />
<br />
d) $$-\frac{5}{3}$$<br />
<br />
e) $$\frac{5}{3}$$<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
$$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{2+1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+1:\frac{3}{2} = 1+1\cdot \frac{2}{3} =$$<br />
<br />
$$=1+\frac{2}{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
$$a=\frac{5}{3}$$<br />
<br />
<br />
Ahora, por las <a href="http://matematicas-psu.blogspot.com/2011/07/propiedades-de-las-potencias.html">propiedades de potencias</a>:<br />
<br />
$$a^{1} = \frac{1}{a^{-1}} $$<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
$$a^{-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{3}{5}$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-86132450561209494392011-07-10T17:00:00.000-04:002011-07-10T17:00:23.105-04:00Problema 28$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16}$$<br />
<br />
a) $$10^{-5}$$<br />
<br />
b) $$10^{-4}$$<br />
<br />
c) 0,001<br />
<br />
d) $$10^{-1}$$<br />
<br />
e) 0,0016<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
Escribimos los números decimales como fracción:<br />
<br />
$$0,16 = \frac{16}{100}$$<br />
<br />
Conviene no simplificar la expresión. Ahora, como $$10^2=100$$ entonces:<br />
<br />
$$\frac{16}{100}=\frac{16}{10^2}$$<br />
<br />
<br />
Se sigue entonces:<br />
<br />
$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16} = \frac{16 \cdot 10^{-3}}{\frac{16}{10^2}}=16 \cdot 10^{-3} : \frac{16}{10^2}=16 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{10^2}{16} = $$<br />
<br />
$$10^{-3+2}=10^{-1}$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-5269758037000057062011-07-10T16:43:00.000-04:002011-07-10T16:44:10.819-04:00Problema 27$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=$$<br />
<br />
a) 0,2<br />
<br />
b) 0,7<br />
<br />
c) 2<br />
<br />
d) 7<br />
<br />
e) 20<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
Escribiendo los números decimales como fracciones:<br />
<br />
$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$<br />
<br />
$$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=\frac{\frac{1}{5}+4}{1-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1+20}{5}}{\frac{5-2}{5}}=\frac{\frac{21}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{21}{5}:\frac{3}{5}=\frac{21}{5}\cdot \frac{5}{3}= 7$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-69735546019273052292011-07-10T00:54:00.000-04:002011-07-10T00:54:49.139-04:00Propiedades de las potenciasA continuación se expone una lista con las propiedades de las potencias. No olvidar que las ecuaciones se miran tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.<br />
<br />
<br />
<b>PROPIEDAD 1</b><br />
<br />
Cualquier número elevado a cero es 1.<br />
<br />
$$a^0 = 1$$<br />
<br />
<br />
<i>Ejemplos:</i><br />
<br />
a) $$3^0 = 1$$<br />
<br />
b) $$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^0 = 1$$<br />
<br />
c) $$\left( \int e^xdx \right)^0 =1$$ <br />
<br />
<br />
<b>PROPIEDAD 2</b><br />
Si dos números con igual base y distinto exponente se <b>multiplican</b> (no vale para la suma) entonces se mantiene la base y se <b>suman</b> los exponentes.<br />
<br />
$$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$<br />
<br />
<br />
Ejemplos:<br />
<br />
a) $$2^4\cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$<br />
<br />
b) $$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+-4} = 5^{-1}$$<br />
<br />
c) $$ 3^{1998}\cdot 3^{2000} = 3^{1998+200} = 3^{3998}$$<br />
<br />
<br />
<b>PROPIEDAD 3</b><br />
Si dos números con igual base y distinto exponente se <b>dividen</b> entonces se mantiene la base y se <b>restan</b> los exponentes.<br />
<br />
$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$<br />
<br />
<br />
Ejemplos:<br />
<br />
a) $$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1=2$$<br />
<br />
b) $$\frac{5^3}{5^{-4}} = 5^{3--4} = 5^{3+4}= 5^7$$<br />
<br />
c) $$\frac{ 3^{1998}}{ 3^{2000}} = 3^{1998-200} = 3^{-2}$$<br />
<br />
<br />
<b>PROPIEDAD 4</b><br />
Un conjunto de números multiplicados entre sí elevados a una potencia es igual a cada número elevado a la potencia multiplicándose entre si:<br />
<br />
<br />
$$\left(a\cdot b \cdot c) ^{x} = a^{x}\cdot b^{x}\cdot c^{x} $$<br />
<br />
<br />
Ejemplos:<br />
<br />
a) $$\left(4 \cdot 3\right)^2 = 4^2\cdot 3^2$$<br />
<br />
b) $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\right)^5 =1^5\cdot2^5\cdot 3^5\cdot 4^5 \cdot 5^5 $$<br />
<br />
c) $$\left(5xy \sqrt 3\right)^{2} = 5^2x^2y^2\left(\sqrt 3\right)^2= 25x^2y^2\cdot3 =75x^2y^2$$<br />
<br />
<br />
<b>PROPIEDAD 5</b><br />
Un número elevado a un número negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo número pero positivo.<br />
<br />
$$a^{-x} = \left(\frac{1}{a} \right)^{x} $$<br />
<br />
o también<br />
<br />
$$\left( \frac{a}{b}\right) ^{-x} = \left(\frac{b}{a} \right)^{x} $$<br />
<br />
<br />
Ejemplos:<br />
<br />
a) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2=16$$<br />
<br />
b) $$7^{-5} = \left( \frac{1}{7}\right)^{5} = \frac{1}{7^5}$$<br />
<br />
c) $$\left(\frac{7}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{4}\right)^3$$<br />
<br />
<br />
<b>PROPIEDAD 6</b><br />
Un número elevado a una potencia y elevado a otra potencia es igual al número elevado a la multiplicación de las potencias:<br />
<br />
$$\left(a^{x}\right)^{y} = a^{x\cdot y} $$<br />
<br />
<br />
Ejemplos:<br />
<br />
a) $$\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 $$<br />
<br />
b) $$\left(x^{250}\right)^{2} = x^{250\cdot 2} = x^{500} $$<br />
<br />
c) $$\left( \left( 80^{3} \right)^4 \right)^5 = 80^{3\cdot 4\cdot 5} = 80^{60}$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-72913814992503492452011-07-10T00:09:00.000-04:002011-07-10T00:10:32.307-04:00Problema 26$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=$$<br />
<br />
a) 2<br />
<br />
b) 4<br />
<br />
c) $$2\cdot 10^{-10}$$<br />
<br />
d) $$4\cdot 10^{-20}$$<br />
<br />
e) $$4\cdot 10^{-10}$$<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Trasformando los decimales a fracción:<br />
<br />
$$0,036=\frac{36}{1000} = \frac{9}{250}$$<br />
<br />
$$0,2=\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$<br />
<br />
$$0,0036=\frac{36}{10000} = \frac{9}{2500}$$<br />
<br />
$$0,04=\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$<br />
<br />
<br />
Entonces: <br />
<br />
$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=\left( \frac{\frac{9}{250}}{\frac{1}{5}} \right)^2\cdot \left(\frac{\frac{9}{2500}}{\frac{1}{25}}\right)^{-2}=$$<br />
<br />
$$=\left( \frac{9}{250}:\frac{1}{5} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}: \frac{1}{25}\right)^{-2}=$$<br />
<br />
$$=\left( \frac{9}{250}\cdot \frac{5}{1} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}\cdot \frac{25}{1}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2} $$<br />
<br />
<br />
Recordando la propiedad de las potencias:<br />
<br />
$$\left( \frac{a}{b}\right)^{-c} = \left( \frac{b}{a}\right)^{c}$$<br />
<br />
y la propiedad de las potencias:<br />
<br />
$$\left( a^c\cdot b^c \right) = \left( a\cdot b \right)^c$$<br />
<br />
entonces se sigue:<br />
<br />
<br />
$$\left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{100}{9}\right)^2 = \left( \frac{9}{50} \cdot \frac{100}{9}\right)^2= $$ <br />
<br />
$$\left( 2 \right)^2 = 4 $$<br />
<br />
Recordando la proiAnonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-83518951256692077392011-07-09T23:35:00.001-04:002011-07-10T16:44:10.820-04:00Problema 25$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,0\bar 9}=$$<br />
<br />
a) 18<br />
<br />
b) 36<br />
<br />
c) 0,36<br />
<br />
d) $$\left( \frac{18}{10} \right)$$<br />
<br />
e) 1,8<br />
<br />
<br />
<b>SOLUCIÓN:</b><br />
<br />
Trasformamos los decimales a fracción:<br />
<br />
$$1,8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$$<br />
<br />
$$1,\bar 9 = \frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2$$<br />
<br />
$$0,\bar 9 = \frac{9-0}{9}=1$$<br />
<br />
$$0,0\bar 9 = \frac{9-0}{90}=\frac{1}{10}$$<br />
<br />
<br />
Entonces, se sigue:<br />
<br />
$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,00\bar 9}=\frac{9}{5}\cdot \frac{2\cdot1}{\frac{1}{10}}=\frac{9}{5}\cdot \left( 2 : \frac{1}{10} \right) = \frac{9}{5}\cdot \left( 2 \cdot 10 \right) = $$<br />
<br />
$$=\frac{9}{5} \cdot 20 = 9\cdot 4 = 36$$Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-89203112235801393312011-07-09T23:15:00.000-04:002011-07-09T23:15:59.483-04:00Retomando el blogEstoy retomando las andanzas del blog. La verdad abri este portal para que la gente aprendiera matemáticas, no se estresara tanto para la PSU y además pa ganar un poco de plata con los anuncios. Bueno, seguiré, si necesitan responder algún ejercicio en particular, maándenlo y lo resuelvo.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-40954202673076993882010-07-21T13:48:00.005-04:002010-07-21T14:45:23.833-04:00Problema 24¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto de las soluciones de la ecuación <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+15x+50=0" align="middle" border="0" /> ?<br /><br />I) Son iguales.<br /><br />II) Tienen igual signo.<br /><br />III) Una es el doble de la otra.<br /><br />a) Sólo I<br />b) Sólo III<br />c) Sólo I y II<br />d) Sólo II y III<br />e) Ninguna de ellas.<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Desarrollando la ecuación:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+15x+50=0" align="middle" border="0" /><br /><br />Recordando el binomio con un término común:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%28x+a%5Cright%29%5Cleft%28x+b%5Cright%29=x%5E2+%28a+b%29x+ab%5C,," align="middle" border="0" /><br /><br />en nuestra ecuación notamos que <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?a=5" align="middle" border="0" /> y <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?b=10" align="middle" border="0" />. En efecto:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%28x+5%5Cright%29%5Cleft%28x+10%5Cright%29=x%5E2+%285+10%29x+5%5Ccdot10=" align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?=x%5E2+15x+50" align="middle" border="0" /><br /><br />Entonces, resolviendo la ecuación:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+15x+50=0%20%5C%20%5CRightarrow%20%5C%20%5Cleft%28x+5%5Cright%29%5Cleft%28x+10%5Cright%29%20=0" align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20%5C%20x+5=0%20%5C%20%5Cwedge%20%5C%20x+10=0" align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20%5C%20x=-5%20%5C%20%5Cwedge%20%5C%20x=-10" align="middle" border="0" /><br /><br />Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x_1=-5" align="middle" border="0" /> y <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x_2=-10" align="middle" border="0" /> .<br /><br />Las raíces no son iguales, por lo tanto, I es falsa.<br />Las raíces tienen igual signo, por lo tanto, II es verdadera.<br />Note que <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x_2=2x_1" align="middle" border="0" />, por lo tanto, una es el doble de la otra, y por lo tanto III es verdadera.<br /><br />La solución corresponde a la alternativa d).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-54883875106240464842010-07-20T03:50:00.003-04:002010-07-21T13:46:37.248-04:00Problema 23Con un cordel de largo <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?d" align="middle" border="0" /> se forma un cuadrado, ¿cuánto mide el área del cuadrado?<br /><br />a) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5E2" align="middle" border="0" /><br /><br />b) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B2%7D" align="middle" border="0" /><br /><br />c) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B4%7D" align="middle" border="0" /><br /><br />d) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B8%7D" align="middle" border="0" /><br /><br />e) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B16%7D" align="middle" border="0" /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Un cuadrado tiene 4 lados, por lo tanto, el cortel de largo <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?d" align="middle" border="0" /> se debe cortar en cuatro partes. Entonces, cada lado del cuadrado medirá <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7B4%7D" align="middle" border="0" /> .<br /><br />Un esquema que ayuda a comprender el problema se muestra a continuación:<div><br /><img style="cursor: pointer; width: 220px; height: 168px;" src="http://3.bp.blogspot.com/_MTtcXwVMT8c/TEVSR_Xw_cI/AAAAAAAACLo/B6AncEG2f9g/s400/img4.GIF" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5495889389297925570" border="0" /><br />En efecto:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7Bd%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7Bd%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7Bd%7D%7B4%7D=d%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />El área de un cuadrado es su lado al cuadrado. El área de este cuadrado en particular será:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bd%7D%7B4%7D%5Cright%29%5E2=%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B4%5E2%7D=%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B16%7D%5C,." align="middle" border="0" /><br /><br />La solución es la aternativa e).<br /><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://2.bp.blogspot.com/_MTtcXwVMT8c/TEVRskuIwiI/AAAAAAAACLQ/EeiZeS0Km5U/s1600/img4.GIF"><br /><br /></a></div>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-85137325629021035622010-07-20T03:25:00.001-04:002010-07-20T03:46:39.901-04:00Problema 22En la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera (s)?<br /><br /><img style="margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 276px; height: 259px;" src="http://4.bp.blogspot.com/_MTtcXwVMT8c/TEVMUpEiImI/AAAAAAAACLA/vu8Teb3ycE8/s400/img3.GIF" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5495882837781520994" border="0" /><br />I) La pendiente de la recta es igual a 5.<br /><br />II) El punto (1,15) pertenece a la recta.<br /><br />II) La ecuación de la recta es <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y=5x-10" align="middle" border="0" /><br /><br /><br />a) Sólo I<br />b) Solo II<br />c) Sólo II<br />d) Sólo I y I<br />e) Sólo I y II<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Basta conocer dos puntos que pasen por la recta para encontrar su ecuación.<br /><br />Sean <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A=%28x_1,y_1%29" align="middle" border="0" /> y <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?B=%28x_2,y_2%29" align="middle" border="0" /> dos puntos que pasan por una recta <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?L" align="middle" border="0" />. Entonces su ecuación se encuentra a través de la expresión:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y-y_1=m%28x-x_1%29%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br />donde<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?m=%5Cfrac%7By_2-y_1%7D%7Bx_2-x_1%7D%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />En el ejercicio, escogiendo <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?A=%28-2,0%29" align="middle" border="0" /> y <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?B=%280,10%29" align="middle" border="0" /> se sigue:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?m=%5Cfrac%7B10-0%7D%7B0--2%7D=%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D=5%5C,," align="middle" border="0" /><br /><br />entonces<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y-0=5%28x--2%29%20%5C%20%5CRightarrow%20%5C%20y=5%28x+2%29%20%5C%20%5CRightarrow%20%5C%20y=5x+10%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />La pendiente de la recta es 5, por lo tanto, el ítem I es verdadero.<br /><br />Reemplazamos la coordenada <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x" align="middle" border="0" /> del punto (1,15) en la ecuación de la recta obtenida:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y=5%5Ccdot1+10=5+10=15%5C,," align="middle" border="0" /><br /><br />lo cual nos arroja su coordenada <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y" align="middle" border="0" />, y por lo tanto, el punto pertenece a la recta, y entonces el ítem II es verdadero.<br /><br />La ecuación de la recta <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y=5x-10%20%5C%20%5Cneq%20%5C%20%20y=5x+10%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br />y por lo tanto, el ítem II es falso.<br /><br />I y II son verdaderas, la alternativa correcta es la e).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-89817400297289491992010-07-20T03:06:00.007-04:002010-07-20T03:25:16.112-04:00Problema 21El número de microbios que hay en una herida infectada se triplica casa 15 minutos. Si al producirse la herida había 100 microbios, ¿Cuántos habrá al cabo de una hora?<br /><br />a) 1.200<br />b) 5.400<br />c) 8.100<br />d) 12.100<br />e) 18.000<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Sea <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?t" align="middle" border="0" /> la variable que mide el tiempo, donde 1 unidad corresponde a 15 minutos. Es decir <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?t=1" align="middle" border="0" /> quiere decir <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?15" align="middle" border="0" /> minutos, <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?t=2" align="middle" border="0" /> quiere decir <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Ccdot%2015=30" align="middle" border="0" /> minutos, <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?t=3" align="middle" border="0" /> es <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?3%5Ccdot15=45" align="middle" border="0" /> minutos y etc.<br /><br />Los microbios se triplican cada una unidad de tiempo (15 minutos).<br /><br />Un esquema que ayuda a comprender la evolción de la multiplicación de los microbios es el siguiente:<br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://4.bp.blogspot.com/_MTtcXwVMT8c/TEVJVGx48bI/AAAAAAAACK4/lMcy6rpFdu4/s1600/img2.JPG"><img style="cursor: pointer; width: 258px; height: 259px;" src="http://4.bp.blogspot.com/_MTtcXwVMT8c/TEVJVGx48bI/AAAAAAAACK4/lMcy6rpFdu4/s400/img2.JPG" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5495879547221504434" border="0" /></a><br />Note que inicialmente hay 1 microbio, luego 3, luego 9, luego 27 y etc. Así, una ecuación que cuenta la cantidad de microbios por unidad de medida sería la siguiente:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?M%28t%29=3%5Et%20%5Ccdot%20M_0" align="middle" border="0" /><br /><br />donde <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?M_0=100" align="middle" border="0" /> es la cantidad inicial de microbios. Note que para <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?t=0" align="middle" border="0" />, la ecuación cumple con la condición inicial de microbios:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?M%28t=0%29=3%5E0%5Ccdot%20M_0=1%5Ccdot%20M_0=M_0" align="middle" border="0" /><br /><br />Al cabo de una hora, habrán trascurrido <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?t=4" align="middle" border="0" /> unidades de tiempo. Entonces el número de bacterias será:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?M%28t=4%29=3%5E4%5Ccdot%20M_0=81%5Ccdot%20M_0=81%5Ccdot%20100=8100" align="middle" border="0" /><br /><br />La solución corresponde a la alternativa c).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-7450035862822405392010-07-19T13:55:00.002-04:002010-07-19T14:04:07.935-04:00Problema 20Si <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?16%5Ccdot4=2%5Ex" align="middle" border="0" /> , entonces <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x=" align="middle" border="0" /> :<br /><br />a) 2<br />b) 3<br />c) 4<br />d) 5<br />e) 6<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Veamos que:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?4=2%5E2%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?16=4%5E2=%282%5E2%29%5E2=2%5E4%5C,." align="middle" border="0" /><br /><br />Entonces:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?16%5Ccdot4=2%5Ex%5C%20%5CRightarrow%5C%202%5E4%5Ccdot2%5E2=2%5Ex%5C,." align="middle" border="0" /><br /><br />La propiedad de las potencias:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5Em%5Ccdot%20x%5En=x%5E%7Bm+n%7D%5C,," align="middle" border="0" /><br /><br />nos ayuda para continuar.<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5E4%5Ccdot2%5E2=2%5Ex%5C%20%5CRightarrow%5C%202%5E%7B4+2%7D=2%5Ex%5C%20%5CRightarrow%5C%202%5E6=2%5Ex%5C,." align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%5C%206=x%5C,." align="middle" border="0" /><br /><br />La solución corresponde a la alternativa e).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-35212988256145646372010-07-19T03:20:00.005-04:002010-07-19T13:50:41.146-04:00Problema 19Las edades de tres personas están en la razón <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?3:4:5" align="middle" border="0" />. Si la suma de las tres edades es 180 años, ¿Qué edad tiene el mayor?<br /><br />a) 15 años<br />b) 45 años<br />c) 60 años<br />d) 75 años<br />e) 85 años<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Sea <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?k" align="middle" border="0" /> la constante de proporcionalidad. Entonces se cumple que:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?3k+4k+5k=180%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%2012k=180%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20k=%5Cfrac%7B180%7D%7B12%7D%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20k=15%20%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />Entonces, la edad de los hermanos será:<br /><br />La edad de primer hermano es <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?3k=3%5Ccdot15=45" align="middle" border="0" /> ,<br /><br />la edad del segundo hermano es <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?4k=4%5Ccdot%2015=60%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br />y la edad del tercer hermano es <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?5k=5%5Ccdot%2015=75%20%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />La edad del hermano mayor es <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?75" align="middle" border="0" /> años.<br /><br />La solución corresponde a la alternativa d).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-48539647120518271952010-07-19T03:01:00.003-04:002010-07-19T03:17:29.556-04:00Problema 18<img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B0,2%5Ccdot%200,3-1%7D%7B0,2%7D=?" align="middle" border="0" /><br /><br />a) -4,7<br />b) -0,2<br />c) -0,47<br />d) -0,7<br />e) 4,7<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />En mi opinión es más sencillo operar trasformando todo a fracciones. Puesto que:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?0,2=%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?0,3=%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br />entonces:<br /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B0,2%5Ccdot%200,3-1%7D%7B0,2%7D=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D-1%7D%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%7D=%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B6%7D%7B100%7D-1%7D%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B6%7D%7B100%7D-%5Cfrac%7B100%7D%7B100%7D%7D%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%7D%0A%20=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B-94%7D%7B100%7D%7D%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D%7D=%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?=%5Cfrac%7B-94%7D%7B100%7D%20:%20%5Cfrac%7B2%7D%7B10%7D=%5Cfrac%7B-94%7D%7B100%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D=-%5Cfrac%7B47%7D%7B10%7D=-4,7" align="middle" border="0" /><br /><br /><br />La respuesta es la alternativa a).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-76016843880704725262010-07-19T02:26:00.003-04:002010-07-19T03:01:11.261-04:00Problema 17Si <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?a" align="middle" border="0" /> cumple con que <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Ccdot3%5Ccdot%28a-4%29=12" align="middle" border="0" /> , entonces <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2a+4=?" align="middle" border="0" /><br /><br />a) -2<br />b) 0<br />c) 6<br />d) 16<br />e) 20<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Se puede llegar a la expresión pedida encontrando el valor de <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?a" align="middle" border="0" />, o bien, desarrollando la ecuación hasta reproducir la expresión pedida.<br />A través de la segunda formulación:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Ccdot3%5Ccdot%28a-4%29=12%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?6%5Ccdot%28a-4%29=12%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?6a-24=12%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?6a-24=12%20%5C%20%5C%20%5C%20/%5C%20:3%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B6a%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B24%7D%7B3%7D=%5Cfrac%7B12%7D%7B3%7D%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /> <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2a-8=4%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /> <br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2a-8=4%20%5C%20%5C%20%5C%20/%20%5C%20+12%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2a-8+12=4+12%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2a+4=16%20%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />La solución es la alternativa d).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-66646571791038102692010-07-18T17:04:00.004-04:002010-07-19T02:17:34.857-04:00Problema 16Un curso universitario tiene 50 alumnos y al comenzar se retiran 2, ¿Qué porcentaje del curso continúa en él?<br /><br />a) 90%<br />b) 92%<br />c) 94%<br />d) 95%<br />e) 96%<br /><br /><br />Solución:<br /><br />Para resolver este problema se pueden utilizar las proporcionalidades. Llamemeos a <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?x" align="middle" border="0" /> al porcentaje de alumnos que se retiran, entonces:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%7D%7B100%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B50%7D%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br />es decir, el porcentaje de alumnos que se retira dividido el 100% está en proporción con el número real de alumnos que se retiran dividido con el total real. Se sigue en la ecuación:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%7D%7B100%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B50%7D%20%5CRightarrow%20x=100%5Ccdot%5Cfrac%7B2%7D%7B50%7D%20%5CRightarrow%20x=2%5Ccdot2%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20x=4%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />Es decir, un 4% de los alumnos se retira del curso. El porcentaje restante de alumnos que se queda será:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?y=100%5C%-4%5C%=96%5C%%20%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br /><br />La alternativa correcta es la e).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-11497287116773517642010-07-18T16:46:00.002-04:002010-07-18T17:14:15.761-04:00Problema 15Si <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?a:b=4:3" align="middle" border="0" />, <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?b:c=2:5" align="middle" border="0" /> y <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?c=15" align="middle" border="0" />, entonces, ¿cuál es el valor de <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?a" align="middle" border="0" />?<br /><br />a) 4<br />b) 6<br />c) 8<br />d) 10<br />e) 12<br /><br /><br />Solución:<br /><br />La proporcionalidades se pueden reescribir de la forma:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />Convendría despejar en ambas la letra <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?b" align="middle" border="0" /> por ser común en ambas:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5CRightarrow%20%5C%20a=%5Cfrac%7B4b%7D%7B3%7D%5CRightarrow%20%5C%20%20%5Cfrac%7B3a%7D%7B4%7D=b%20%5C,," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%20%5CRightarrow%20%5C%20b=%5Cfrac%7B2c%7D%7B5%7D%20%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /> <br /><br />Igualando los resultados obtenidos:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?b=%20%5Cfrac%7B3a%7D%7B4%7D%20%5C%20%5Cwedge%20%5C%20b=%5Cfrac%7B2c%7D%7B5%7D%20%5CRightarrow%20%5C%20%5Cfrac%7B3a%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B2c%7D%7B5%7D%20%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%203a=4%5Ccdot%5Cfrac%7B2c%7D%7B5%7D%5CRightarrow%20%20%5C%203a=%5Cfrac%7B8c%7D%7B5%7D%5C,%20," align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20a=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B8c%7D%7B5%7D%20%5CRightarrow%20%5C%20a=%5Cfrac%7B8c%7D%7B15%7D%20%5C,%20." align="middle" border="0" /><br /><br />Como <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?c=15" align="middle" border="0" />, entonces se sigue:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%5Cfrac%7B8c%7D%7B15%7D%20%5CRightarrow%20%5C%20a=%5Cfrac%7B8%5Ccdot15%7D%7B15%7D%5C,%20%0A." align="middle" border="0" /><br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20%5C%20a=8" align="middle" border="0" /><br /><br />La solución es la alternativa c).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4587882773928859415.post-63906569097806713082010-07-18T16:33:00.002-04:002010-07-18T16:46:30.757-04:00Problema 14La expresión que corresponde al enunciado: "al doble de <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?p" align="middle" border="0" /> le faltan tres unidades para el doble del cuadrado de <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?q" align="middle" border="0" />", se expresa mediante la ecuación:<br /><br />a) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p-3=2q%5E2" align="middle" border="0" /><br />b) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?3-2p=2q%5E2" align="middle" border="0" /><br />c) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p+3=2q%5E2" align="middle" border="0" /><br />d) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p+3=%282q%29%5E2" align="middle" border="0" /><br />e) <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p-3=%282q%29%5E2" align="middle" border="0" /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">Solución:</span><br /><br />Este es un ejercicio sencillo. Se trata de traducir lo que se nos dice en palabras. Vamos traduciendo:<br /><br /><span style="font-style: italic;">Al doble de</span> <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?p" align="middle" border="0" />...<br /><br />se escriba sencillamente <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p" align="middle" border="0" />.<br /><br />Sigue:<br /><br /><span style="font-style: italic;">...le faltan tres unidades para el doble del cuadrado de</span> <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?q" align="middle" border="0" /><br /><br />es decir, si le agrego (le sumo) a <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p" align="middle" border="0" /> tres unidades, entonces, encuentro un número:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p+3=?" align="middle" border="0" /><br /><br />Ese número es el doble del cuadrado de <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?q" align="middle" border="0" />, es decir, <img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2q%5E2" align="middle" border="0" />.<br /><br />Finalmente:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p+3=2q%5E2" align="middle" border="0" /><br /><br />Si hubiera dicho "el cuadrado del doble de q", entonces sería:<br /><br /><img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?2p+3=%282q%29%5E2" align="middle" border="0" /><br /><br />lo cual no va al caso.<br /><br />La solución es la alternativa c).Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/16468855899567174837noreply@blogger.com0