Problema 36

Si el perímetro del rectángulo ABCD es $$8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$, entonces ¿Cuánto es DC?

a) a+2b

b) 2a+b

c) 4a+6b

d) 4a+2b

e) 6a+5b


SOLUCIÓN:

El perímetro de una figura es la suma de la medida de los lados. En la figura, el perímetro será:

$$ P = \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+ \overline{DA} $$

Por ser la figura un rectángulo, se tiene que $$\overline{AB}= \overline {CD}$$ y $$\overline{BC}+\overline{DA}$$. Entonces:

$$ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AB} + \overline{BC} = $$

$$=2\overline{AB} + 2\overline{BC} $$

Como $$P=8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$ se sigue:

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+2(2a+3b)$$

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+4a+6b$$

$$ 8a+8b -4a-6b= 2\overline{AB}$$

$$ 2\overline{AB}= 4a+2b$$

$$ 2\overline{AB}= 2(2a+b)$$

$$ \overline{AB}= 2a+b$$

Entonces:

$$ \overline{AB}= \overline{CD} = 2a+b$$

Problema 35

$$\left( 1-0,\bar 6 \right)^2=$$

a) $$\frac{16}{81}$$

b) $$0,\overline{04}$$

c) $$0,\bar 1$$

d) $$0,\bar 2$$

e) $$0, \bar 4$$


SOLUCIÓN:

Escribiendo el número decimal como fracción:

$$0,\bar 6 = \frac{6-0}{9} = \frac{2}{3}$$

Entonces:

$$\left( 1-\frac{2}{3} \right)^2=\left( \frac{3-2}{3} \right)^2 = $$

$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\bar 1$$

Problema 34

Sea $$2^3-2 =1\cdot 2\cdot 3$$; $$3^3-3 =2\cdot 3\cdot 4$$; $$4^3-4 =3\cdot 4\cdot 5$$.
Entonces, $$20^3-20 =$$

a) $$20\cdot 21\cdot 22$$

b) $$19\cdot 20\cdot 21$$

c) $$18\cdot 19\cdot 20$$

d) $$21\cdot 22\cdot 23$$

e) $$22\cdot 23\cdot 24$$



SOLUCIÓN:


La recursión se puede escribir como:

$$R(n) = n^3-n =(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$$

Por lo tanto:

$$R(20) = 20^3-20 =(20-1)\cdot 20\cdot (20+1) = 19\cdot 20\cdot 21$$

Problema 33

$$0,6\cdot 10^4+6\cdot 10^3+0,06\cdot 10^5 = $$

a) $$18\cdot 10^9$$

b) $$1,8\cdot 10^4$$

c) $$18\cdot 10^4 $$

d) $$6,066\cdot 10^7 $$

e) $$6,66\cdot 10^{12} $$


SOLUCIÓN:

$$0,6\cdot 10^4+6\cdot10^3+0,06\cdot 10^5 = $$

$$=\frac{6}{10}\cdot 10\cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 10^2\cdot 10^3=$$

$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 100\cdot 10^3=$$

$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+6\cdot 10^3=$$

$$=18\cdot 10^3 = 18\cdot 10^{-1}\cdot 10^4 = $$

$$=18\cdot \frac{1}{10}\cdot 10^4= \frac{18}{10}\cdot 10^4 = 1,8\cdot 10^4$$

Problema 32

Si han trascurrido $$\frac{2}{5}$$ de los $$\frac{3}{4}$$ del dia, ¿Qué hora es?

a) 7 hr 12 min

b) 7 hr 20 min

c) 7 hr 2 min

d) 7 hr

e) 7 hr 24 min


SOLUCIÓN:

Un día tiene 24 horas. Para calcular los tres cuartos de un día se tiene que multiplicar $$\frac{3}{4}$$ por 24:

$$\frac{3}{4}\cdot 24 = 3\cdot 6 = 18$$


Ahora, han trascurrido dos quintos de 18 horas. Se multiplica $$\frac{2}{5}$$ por 18:

$$\frac{2}{5}\cdot 18 = \frac{36}{5} = 7,2 $$

Entonces, han transcurrido 7,2 horas. Es decir, 7 horas, y 0,2 partes de una hora. Si 1 hora es el 100%, entonces calculamos el porcentaje que le corresponde a 0,2:

$$\frac{1}{100}=\frac{0,2}{x}$$

$$x = 0,2\cdot 100$$

$$x = 20$$

Es decir, ha trascurrido un 20% de una hora. Si una hora son 60 minutos, entonces ¿a cuántos minutos le corresponden el 20% de una hora?

$$\frac{60}{100}=\frac{x}{20}$$

$$60\cdot 20 = 100\cdot x$$

$$x= \frac{1200}{100} = 12$$

Es decir, 0,2 partes de una hora corresponden a 12 minutos. Por lo tanto, han trascurrido 7 horas y 12 minutos del día.

Problema 31

En la figura, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 2 cm y 8 cm ¿Cuál es la medida de GB?

a) 12 cm

b) 10 cm

c) 8 cm

d) 6 cm

e) 5 cm



SOLUCIÓN:

El área de un rectángulo es:

$$A=l\cdot a$$

donde $$l$$ es su largo y $$a$$ es su ancho. En el rectángulo ABCD el largo vale 8cm y el ancho 2cm. Por lo tanto su área será:

$$A=l\cdot a = 8 \cdot 2 = 16\ \text{cm}^2$$

El área de un cuadrado es:

$$A=x^2$$

donde $$x$$ es su lado. El área del rectángulo ABCD es igual al área del cuadrado DEFG. Entonces:

$$A=x^2=16\ \text{cm}^2$$

$$x=\sqrt{16\ \text{cm}^2}$$

$$x=4\ \text{cm}$$

EL lado AG = AD+DG, entonces:

$$\text{AG} = 2+4 = 6 \ \text{cm}$$

Se tiene un cuadrado rectángulo de catetos AG = 6cm y AB = 8cm, la hipotenuza es BG. Por el Teorema de Pitágoras:

$$\text{BG}^2 = \text{AG}^2+\text{AB}^2$$

$$\text{BG}^2 = 6^2+8^2$$

$$\text{BG}^2 = 36+64$$

$$\text{BG}^2 = 100$$

$$\text{BG} = \sqrt {100}$$

$$\text{BG} = 10$$

Problema 30

En la figura, el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y EBCF es un cuadrado de área 9. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?

a) 10

b) 15

c) 18

d) 24

e) 36


SOLUCIÓN:

Si el lado de un cuadrado mide $$x$$, entonces el área del cuadrado mide $$A=x^2$$.
Entonces, digamos que el lado del cuadrado EBCF vale $$x$$. Entonces para ese cuadrado se tiene la relación:

$$A=x^2=9$$

$$x=\sqrt9$$

$$x=3$$

y por lo tanto, como el lado del cuadrado coincide con el ancho del rectángulo ABCD, entonces el ancho de tal rectángulo mide 3.

El perímetro de un rectángulo es:

$$P=2a+2l$$

donde $$a$$ corresponde al ancho del rectángulo y $$l$$ al largo del rectángulo. Se sabe que el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y como su ancho es 3, se sigue por la ecuación de su perímetro:

$$P=2\cdot 3+2 l = 22$$

$$6+2l=22$$

$$2l=22-6$$

$$2l=16$$

$$l=\frac{16}{2}$$

$$l=8$$

El segmento AE = AB-EB, entonces:

$$AE= 8-3 = 5$$

El área de un rectángulo es:

$$A = a\cdot l$$

donde $$a$$ es el ancho y $$l$$ el largo. Así, el área del rectángulo AEFD es:

$$A = a\cdot l = 3\cdot 5 = 15$$

Problema 29

Si $$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$ , entonces $$a^{-1} =$$


a) 4

b) $$\frac{5}{2}$$

c) $$\frac{3}{5}$$

d) $$-\frac{5}{3}$$

e) $$\frac{5}{3}$$


SOLUCIÓN:

$$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{2+1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+1:\frac{3}{2} = 1+1\cdot \frac{2}{3} =$$

$$=1+\frac{2}{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$$

Por lo tanto

$$a=\frac{5}{3}$$


Ahora, por las propiedades de potencias:

$$a^{1} = \frac{1}{a^{-1}} $$

Entonces:

$$a^{-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{3}{5}$$

Problema 28

$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16}$$

a) $$10^{-5}$$

b) $$10^{-4}$$

c) 0,001

d) $$10^{-1}$$

e) 0,0016


SOLUCIÓN:

Escribimos los números decimales como fracción:

$$0,16 = \frac{16}{100}$$

Conviene no simplificar la expresión. Ahora, como $$10^2=100$$ entonces:

$$\frac{16}{100}=\frac{16}{10^2}$$


Se sigue entonces:

$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16} = \frac{16 \cdot 10^{-3}}{\frac{16}{10^2}}=16 \cdot 10^{-3} : \frac{16}{10^2}=16 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{10^2}{16} = $$

$$10^{-3+2}=10^{-1}$$

Problema 27

$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=$$

a) 0,2

b) 0,7

c) 2

d) 7

e) 20


SOLUCIÓN:

Escribiendo los números decimales como fracciones:

$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

$$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Entonces:

$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=\frac{\frac{1}{5}+4}{1-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1+20}{5}}{\frac{5-2}{5}}=\frac{\frac{21}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{21}{5}:\frac{3}{5}=\frac{21}{5}\cdot \frac{5}{3}= 7$$

Propiedades de las potencias

A continuación se expone una lista con las propiedades de las potencias. No olvidar que las ecuaciones se miran tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.


PROPIEDAD 1

Cualquier número elevado a cero es 1.

$$a^0 = 1$$


Ejemplos:

a) $$3^0 = 1$$

b) $$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^0 = 1$$

c) $$\left( \int e^xdx \right)^0 =1$$


PROPIEDAD 2
Si dos números con igual base y distinto exponente se multiplican (no vale para la suma) entonces se mantiene la base y se suman los exponentes.

$$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$


Ejemplos:

a) $$2^4\cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$

b) $$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+-4} = 5^{-1}$$

c) $$ 3^{1998}\cdot 3^{2000} = 3^{1998+200} = 3^{3998}$$


PROPIEDAD 3
Si dos números con igual base y distinto exponente se dividen entonces se mantiene la base y se restan los exponentes.

$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$


Ejemplos:

a) $$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1=2$$

b) $$\frac{5^3}{5^{-4}} = 5^{3--4} = 5^{3+4}= 5^7$$

c) $$\frac{ 3^{1998}}{ 3^{2000}} = 3^{1998-200} = 3^{-2}$$


PROPIEDAD 4
Un conjunto de números multiplicados entre sí elevados a una potencia es igual a cada número elevado a la potencia multiplicándose entre si:


$$\left(a\cdot b \cdot c) ^{x} = a^{x}\cdot b^{x}\cdot c^{x} $$


Ejemplos:

a) $$\left(4 \cdot 3\right)^2 = 4^2\cdot 3^2$$

b) $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\right)^5 =1^5\cdot2^5\cdot 3^5\cdot 4^5 \cdot 5^5 $$

c) $$\left(5xy \sqrt 3\right)^{2} = 5^2x^2y^2\left(\sqrt 3\right)^2= 25x^2y^2\cdot3 =75x^2y^2$$


PROPIEDAD 5
Un número elevado a un número negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo número pero positivo.

$$a^{-x} = \left(\frac{1}{a} \right)^{x} $$

o también

$$\left( \frac{a}{b}\right) ^{-x} = \left(\frac{b}{a} \right)^{x} $$


Ejemplos:

a) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2=16$$

b) $$7^{-5} = \left( \frac{1}{7}\right)^{5} = \frac{1}{7^5}$$

c) $$\left(\frac{7}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{4}\right)^3$$


PROPIEDAD 6
Un número elevado a una potencia y elevado a otra potencia es igual al número elevado a la multiplicación de las potencias:

$$\left(a^{x}\right)^{y} = a^{x\cdot y} $$


Ejemplos:

a) $$\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 $$

b) $$\left(x^{250}\right)^{2} = x^{250\cdot 2} = x^{500} $$

c) $$\left( \left( 80^{3} \right)^4 \right)^5 = 80^{3\cdot 4\cdot 5} = 80^{60}$$

Problema 26

$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=$$

a) 2

b) 4

c) $$2\cdot 10^{-10}$$

d) $$4\cdot 10^{-20}$$

e) $$4\cdot 10^{-10}$$


SOLUCIÓN:

Trasformando los decimales a fracción:

$$0,036=\frac{36}{1000} = \frac{9}{250}$$

$$0,2=\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

$$0,0036=\frac{36}{10000} = \frac{9}{2500}$$

$$0,04=\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$


Entonces:

$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=\left( \frac{\frac{9}{250}}{\frac{1}{5}} \right)^2\cdot \left(\frac{\frac{9}{2500}}{\frac{1}{25}}\right)^{-2}=$$

$$=\left( \frac{9}{250}:\frac{1}{5} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}: \frac{1}{25}\right)^{-2}=$$

$$=\left( \frac{9}{250}\cdot \frac{5}{1} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}\cdot \frac{25}{1}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2} $$


Recordando la propiedad de las potencias:

$$\left( \frac{a}{b}\right)^{-c} = \left( \frac{b}{a}\right)^{c}$$

y la propiedad de las potencias:

$$\left( a^c\cdot b^c \right) = \left( a\cdot b \right)^c$$

entonces se sigue:


$$\left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{100}{9}\right)^2 = \left( \frac{9}{50} \cdot \frac{100}{9}\right)^2= $$

$$\left( 2 \right)^2 = 4 $$

Recordando la proi

Problema 25

$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,0\bar 9}=$$

a) 18

b) 36

c) 0,36

d) $$\left( \frac{18}{10} \right)$$

e) 1,8


SOLUCIÓN:

Trasformamos los decimales a fracción:

$$1,8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$$

$$1,\bar 9 = \frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2$$

$$0,\bar 9 = \frac{9-0}{9}=1$$

$$0,0\bar 9 = \frac{9-0}{90}=\frac{1}{10}$$


Entonces, se sigue:

$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,00\bar 9}=\frac{9}{5}\cdot \frac{2\cdot1}{\frac{1}{10}}=\frac{9}{5}\cdot \left( 2 : \frac{1}{10} \right) = \frac{9}{5}\cdot \left( 2 \cdot 10 \right) = $$

$$=\frac{9}{5} \cdot 20 = 9\cdot 4 = 36$$

Retomando el blog

Estoy retomando las andanzas del blog. La verdad abri este portal para que la gente aprendiera matemáticas, no se estresara tanto para la PSU y además pa ganar un poco de plata con los anuncios. Bueno, seguiré, si necesitan responder algún ejercicio en particular, maándenlo y lo resuelvo.