Problema 24

¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto de las soluciones de la ecuación ?

I) Son iguales.

II) Tienen igual signo.

III) Una es el doble de la otra.

a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d) Sólo II y III
e) Ninguna de ellas.


Solución:

Desarrollando la ecuación:



Recordando el binomio con un término común:



en nuestra ecuación notamos que y . En efecto:





Entonces, resolviendo la ecuación:







Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son y .

Las raíces no son iguales, por lo tanto, I es falsa.
Las raíces tienen igual signo, por lo tanto, II es verdadera.
Note que , por lo tanto, una es el doble de la otra, y por lo tanto III es verdadera.

La solución corresponde a la alternativa d).

Problema 23

Con un cordel de largo se forma un cuadrado, ¿cuánto mide el área del cuadrado?

a)

b)

c)

d)

e)


Solución:

Un cuadrado tiene 4 lados, por lo tanto, el cortel de largo se debe cortar en cuatro partes. Entonces, cada lado del cuadrado medirá .

Un esquema que ayuda a comprender el problema se muestra a continuación:

En efecto:



El área de un cuadrado es su lado al cuadrado. El área de este cuadrado en particular será:



La solución es la aternativa e).

Problema 22

En la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera (s)?


I) La pendiente de la recta es igual a 5.

II) El punto (1,15) pertenece a la recta.

II) La ecuación de la recta es


a) Sólo I
b) Solo II
c) Sólo II
d) Sólo I y I
e) Sólo I y II


Solución:

Basta conocer dos puntos que pasen por la recta para encontrar su ecuación.

Sean y dos puntos que pasan por una recta . Entonces su ecuación se encuentra a través de la expresión:



donde



En el ejercicio, escogiendo y se sigue:



entonces



La pendiente de la recta es 5, por lo tanto, el ítem I es verdadero.

Reemplazamos la coordenada del punto (1,15) en la ecuación de la recta obtenida:



lo cual nos arroja su coordenada , y por lo tanto, el punto pertenece a la recta, y entonces el ítem II es verdadero.

La ecuación de la recta

y por lo tanto, el ítem II es falso.

I y II son verdaderas, la alternativa correcta es la e).

Problema 21

El número de microbios que hay en una herida infectada se triplica casa 15 minutos. Si al producirse la herida había 100 microbios, ¿Cuántos habrá al cabo de una hora?

a) 1.200
b) 5.400
c) 8.100
d) 12.100
e) 18.000


Solución:

Sea la variable que mide el tiempo, donde 1 unidad corresponde a 15 minutos. Es decir quiere decir minutos, quiere decir minutos, es minutos y etc.

Los microbios se triplican cada una unidad de tiempo (15 minutos).

Un esquema que ayuda a comprender la evolción de la multiplicación de los microbios es el siguiente:

Note que inicialmente hay 1 microbio, luego 3, luego 9, luego 27 y etc. Así, una ecuación que cuenta la cantidad de microbios por unidad de medida sería la siguiente:



donde es la cantidad inicial de microbios. Note que para , la ecuación cumple con la condición inicial de microbios:



Al cabo de una hora, habrán trascurrido unidades de tiempo. Entonces el número de bacterias será:



La solución corresponde a la alternativa c).