Problema 36

Si el perímetro del rectángulo ABCD es $$8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$, entonces ¿Cuánto es DC?

a) a+2b

b) 2a+b

c) 4a+6b

d) 4a+2b

e) 6a+5b


SOLUCIÓN:

El perímetro de una figura es la suma de la medida de los lados. En la figura, el perímetro será:

$$ P = \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+ \overline{DA} $$

Por ser la figura un rectángulo, se tiene que $$\overline{AB}= \overline {CD}$$ y $$\overline{BC}+\overline{DA}$$. Entonces:

$$ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AB} + \overline{BC} = $$

$$=2\overline{AB} + 2\overline{BC} $$

Como $$P=8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$ se sigue:

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+2(2a+3b)$$

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+4a+6b$$

$$ 8a+8b -4a-6b= 2\overline{AB}$$

$$ 2\overline{AB}= 4a+2b$$

$$ 2\overline{AB}= 2(2a+b)$$

$$ \overline{AB}= 2a+b$$

Entonces:

$$ \overline{AB}= \overline{CD} = 2a+b$$

Problema 35

$$\left( 1-0,\bar 6 \right)^2=$$

a) $$\frac{16}{81}$$

b) $$0,\overline{04}$$

c) $$0,\bar 1$$

d) $$0,\bar 2$$

e) $$0, \bar 4$$


SOLUCIÓN:

Escribiendo el número decimal como fracción:

$$0,\bar 6 = \frac{6-0}{9} = \frac{2}{3}$$

Entonces:

$$\left( 1-\frac{2}{3} \right)^2=\left( \frac{3-2}{3} \right)^2 = $$

$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\bar 1$$

Problema 34

Sea $$2^3-2 =1\cdot 2\cdot 3$$; $$3^3-3 =2\cdot 3\cdot 4$$; $$4^3-4 =3\cdot 4\cdot 5$$.
Entonces, $$20^3-20 =$$

a) $$20\cdot 21\cdot 22$$

b) $$19\cdot 20\cdot 21$$

c) $$18\cdot 19\cdot 20$$

d) $$21\cdot 22\cdot 23$$

e) $$22\cdot 23\cdot 24$$



SOLUCIÓN:


La recursión se puede escribir como:

$$R(n) = n^3-n =(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$$

Por lo tanto:

$$R(20) = 20^3-20 =(20-1)\cdot 20\cdot (20+1) = 19\cdot 20\cdot 21$$

Problema 33

$$0,6\cdot 10^4+6\cdot 10^3+0,06\cdot 10^5 = $$

a) $$18\cdot 10^9$$

b) $$1,8\cdot 10^4$$

c) $$18\cdot 10^4 $$

d) $$6,066\cdot 10^7 $$

e) $$6,66\cdot 10^{12} $$


SOLUCIÓN:

$$0,6\cdot 10^4+6\cdot10^3+0,06\cdot 10^5 = $$

$$=\frac{6}{10}\cdot 10\cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 10^2\cdot 10^3=$$

$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 100\cdot 10^3=$$

$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+6\cdot 10^3=$$

$$=18\cdot 10^3 = 18\cdot 10^{-1}\cdot 10^4 = $$

$$=18\cdot \frac{1}{10}\cdot 10^4= \frac{18}{10}\cdot 10^4 = 1,8\cdot 10^4$$

Problema 32

Si han trascurrido $$\frac{2}{5}$$ de los $$\frac{3}{4}$$ del dia, ¿Qué hora es?

a) 7 hr 12 min

b) 7 hr 20 min

c) 7 hr 2 min

d) 7 hr

e) 7 hr 24 min


SOLUCIÓN:

Un día tiene 24 horas. Para calcular los tres cuartos de un día se tiene que multiplicar $$\frac{3}{4}$$ por 24:

$$\frac{3}{4}\cdot 24 = 3\cdot 6 = 18$$


Ahora, han trascurrido dos quintos de 18 horas. Se multiplica $$\frac{2}{5}$$ por 18:

$$\frac{2}{5}\cdot 18 = \frac{36}{5} = 7,2 $$

Entonces, han transcurrido 7,2 horas. Es decir, 7 horas, y 0,2 partes de una hora. Si 1 hora es el 100%, entonces calculamos el porcentaje que le corresponde a 0,2:

$$\frac{1}{100}=\frac{0,2}{x}$$

$$x = 0,2\cdot 100$$

$$x = 20$$

Es decir, ha trascurrido un 20% de una hora. Si una hora son 60 minutos, entonces ¿a cuántos minutos le corresponden el 20% de una hora?

$$\frac{60}{100}=\frac{x}{20}$$

$$60\cdot 20 = 100\cdot x$$

$$x= \frac{1200}{100} = 12$$

Es decir, 0,2 partes de una hora corresponden a 12 minutos. Por lo tanto, han trascurrido 7 horas y 12 minutos del día.